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COMO TUDO FUNCIONA - Curso Rápido de Probabilidade Aplicada ao Futebol - Parte II
(ou: Probabilidades Baseadas em Parâmetros)



Alguns meses atrás, em resposta a uma infelicíssima análise publicada na Internet, eu publiquei esse artigo explicando um pouco do cálculo básico de probabilidades e, através do conceito de Probabilidade Condicional, esclarecendo o porquê de as chances de um time ser campeão, se classificar, ser rebaixado etc. variarem ao longo dos campeonatos.

Os exemplos que citei naquele artigo, porém, foram de situações simples, como lançamentos de moedas ou de dados, em que nós não só podemos considerar todas as faces com a mesma probabilidade de ocorrência (1/2 para a moeda e 1/6 para o dado) como também podemos considerar que essa probabilidade não se altera ao longo do tempo, isto é, que a chance de sair cara na 50ª jogada continua igual a 50%, independentemente dos resultados das 49 jogadas anteriores.

No futebol, por outro lado, seria evidentemente irreal e simplista considerar que todos os times são iguais e que todos os resultados possíveis são igualmente prováveis. Além de sempre existirem times melhores que outros, há uma flutuação ao longo do tempo que não pode ser ignorada: especialmente numa competição longa como o Campeonato Brasileiro ou as Eliminatórias para a Copa do Mundo, qualquer time apresenta oscilações entre fases de melhor forma técnica (quando sua probabilidade de vencer um jogo é "maior") e fases de pior desempenho (quando sua chance de vitória é "menor"). Essas características, intrínsecas ao "mundo real", suscitam a utilização de parâmetros e conseqüentemente de uma abordagem mais sofisticada que a do sorteio das bolinhas mencionada no artigo anterior. São esses parâmetros e essa sofisticação que provocam um fenômeno que não raro acontece com os números divulgados pelo Chance de Gol: as probabilidades aparentemente exageradas de o time X ser campeão ou de o time Y ser rebaixado. E é esse fenômeno que tentarei elucidar neste artigo.

Imaginemos, então, que Almeida e Barbosa estejam disputando um campeonato de "par ou ímpar" no qual será sagrado campeão o primeiro que atingir 10 vitórias. Imaginemos também que, após 13 jogos, Barbosa está com 8 vitórias contra 5 vitórias de Almeida. Qual é, então a probabilidade de Almeida ser campeão? E qual será a probabilidade após o próximo jogo?

Para termos uma melhor visualização do processo de cálculo que nos levará a essas respostas, lembremos que, de todos os resultados possíveis dos jogos futuros, Almeida somente será campeão se ganhar os cinco próximos jogos ou se perder no máximo um jogo antes da quinta vitória, o que equivale às seguintes seqüências de resultados ("A" representa vitória de Almeida e "B" representa vitória de Barbosa):

Jogo 14 Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final
A A A A A   A 10 x 8 B
B A A A A A A 10 x 9 B
A B A A A A A 10 x 9 B
A A B A A A A 10 x 9 B
A A A B A A A 10 x 9 B
A A A A B A A 10 x 9 B

Agora, se Almeida vencer o Jogo 14, o placar passará para 8 x 6 a favor de Barbosa. Nessa hipótese, Almeida precisará, para ser campeão, de quatro vitórias consecutivas ou, no máximo, perder um jogo antes da quarta vitória:

Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final
A A A A   A 10 x 8 B
B A A A A A 10 x 9 B
A B A A A A 10 x 9 B
A A B A A A 10 x 9 B
A A A B A A 10 x 9 B

Analogamente, se Almeida perder o Jogo 14, o placar passará para 9 x 5 a favor de Barbosa e, nesse caso, Almeida precisará necessariamente de cinco vitórias seguidas para ser campeão:

Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final
A A A A A A 10 x 9 B

Assim, para conhecer as probabilidades de Almeida ser campeão, vamos, em primeiro lugar, abordar esse problema sob a ótica do artigo anterior, supondo que em cada jogo as probabilidades de vitória são sempre 50% para Almeida e 50% para Barbosa. Nesse caso, as probabilidades de cada seqüência favorável a Almeida são:

Jogo 14 Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final Probabilidade
A A A A A   A 10 x 8 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32
B A A A A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/64
A B A A A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/64
A A B A A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/64
A A A B A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/64
A A A A B A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/64

E a probabilidade de Almeida ser campeão é igual a 1/32 + (5 x 1/64) = 10,94 %.

Na hipótese de Almeida vencer o Jogo 14, sua probabilidade de ser campeão passa a ser:

Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final Probabilidade
A A A A   A 10 x 8 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16
B A A A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32
A B A A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32
A A B A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32
A A A B A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32

E a probabilidade de Almeida ser campeão passa a ser igual a 1/16 + (4 * 1/32) = 18,75 %.

Finalmente, na hipótese de Almeida perder o Jogo 14, sua probabilidade de ser campeão passa a ser:

Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final Probabilidade
A A A A A A 10 x 9 B 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32

O que é igual a 1/32 = 3,13 %.

Assim, lembrando-se dos conceitos explicados no artigo anterior, podemos escrever:
  • Probabilidade de Almeida ser campeão, DADOS os resultados dos 13 primeiros jogos = 10,94 %
  • Probabilidade de Almeida ser campeão, DADOS os resultados dos 13 primeiros jogos E que Almeida
    venceu o Jogo 14 = 18,75 %
  • Probabilidade de Almeida ser campeão, DADOS os resultados dos 13 primeiros jogos E que Almeida
    perdeu o Jogo 14 = 3,13 %
Porém, assim como ocorre no futebol, podemos considerar que os jogos passados fornecem informações sobre a qualidade técnica de cada participante. Se Barbosa ganhou mais jogos que Almeida, isso pode significar que Barbosa seja, em algum sentido, "melhor" que Almeida. Podemos, por exemplo, utilizar os números de vitórias de cada participante como um parâmetro: no nosso exemplo, o parâmetro de Barbosa poderia ser igual a 8 e o de Almeida igual a 5. Entã, esses parâmetros nos permitiriam, por exemplo, basear os cálculos na suposição de que a probabilidade de Barbosa vencer um jogo seja igual a 8/13 e a probabilidade de vitória de Almeida seja igual a 5/13. Nesse caso, a probabilidade de Almeida ser campeão seria calculada da seguinte forma:

Jogo 14 Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final Probabilidade
A A A A A   A 10 x 8 B 5/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 = 3125/371293
B A A A A A A 10 x 9 B 8/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 = 25000/4826809
A B A A A A A 10 x 9 B 5/13 x 8/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 = 25000/4826809
A A B A A A A 10 x 9 B 5/13 x 5/13 x 8/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 = 25000/4826809
A A A B A A A 10 x 9 B 5/13 x 5/13 x 5/13 x 8/13 x 5/13 x 5/13 = 25000/4826809
A A A A B A A 10 x 9 B 5/13 x 5/13 x 5/13 x 5/13 x 8/13 x 5/13 = 25000/4826809

E a probabilidade de Almeida ser campeão é igual a 3125/371293 + (5 * 25000/4826809) = 3,43 %

Agora, na hipótese de Almeida vencer o Jogo 14, o seu parâmetro passa a ser igual a 6, as probabilidades de vitória de Barbosa e Almeida passam a ser respectivamente iguais a 8/14 e 6/14 e a probabilidade de Almeida ser campeão passa a ser:

Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final Probabilidade
A A A A   A 10 x 8 B 6/14 x 6/14 x 6/14 x 6/14 = 1296/38416
B A A A A A 10 x 9 B 8/14 x 6/14 x 6/14 x 6/14 x 6/14 = 10368/537824
A B A A A A 10 x 9 B 6/14 x 8/14 x 6/14 x 6/14 x 6/14 = 10368/537824
A A B A A A 10 x 9 B 6/14 x 6/14 x 8/14 x 6/14 x 6/14 = 10368/537824
A A A B A A 10 x 9 B 6/14 x 6/14 x 6/14 x 8/14 x 6/14 = 10368/537824

E a probabilidade de Almeida ser campeão passa a ser igual a 1296/38416 + (4 * 10368/537824) = 11,08 %.

Por fim, na hipótese de Almeida vencer o Jogo 14, o parâmetro de Barbosa passa a ser igual a 9, as probabilidades de vitória de Barbosa e Almeida passam a ser respectivamente iguais a 9/14 e 5/14 e a probabilidade de Almeida ser campeão passa a ser:

Jogo 15 Jogo 16 Jogo 17 Jogo 18 Jogo 19 Placar Final Probabilidade
A A A A A A 10 x 9 B 5/14 x 5/14 x 5/14 x 5/14 x 5/14 = 3125/537824

O que é igual a 3125/537824 = 0,58 %.

Então, podemos escrever agora:
  • Probabilidade de Almeida ser campeão, DADOS os resultados dos 13 primeiros jogos E os parâmetros
    sugeridos por esses resultados = 3,43 %
  • Probabilidade de Almeida ser campeão, DADOS os resultados dos 13 primeiros jogos E que Almeida
    venceu o Jogo 14 E os parâmetros sugeridos por esses resultados = 11,08 %
  • Probabilidade de Almeida ser campeão, DADOS os resultados dos 13 primeiros jogos E que Almeida
    perdeu o Jogo 14 E os parâmetros sugeridos por esses resultados = 0,58 %
O que se pode perceber desses números? Numa primeira olhada, é fácil notar que, em todas as três situações, a probabilidade de Almeida ser campeão, calculada com parâmetros, é menor do que a mesma probabilidad,e calculada sob a premissa inicial (de que cada em jogo haja 50% de chances de vitória para cada contendor). E o que isso significa? Por que isso acontece? A explicação é simples: se o parâmetro de Barbosa é maior que o de Almeida, então Barbosa será favorito em todos os jogos. Conseqüentemente, as seqüências de resultados que levam Barbosa a ser campeão não só são mais numerosas como também têm maiores probabilidades de ocorrência. Logo, quando somamos "muitas" parcelas com "grandes" probabilidades, o resultado inevitavelmente será uma probabilidade "muito alta" de Barbosa ser campeão e uma probabilidade "muito baixa" de Almeida vencer o campeonato.

Saindo do "par ou ímpar" para o futebol, diversos fatores adicionais obviamente precisam ser considerados, como por exemplo:
- No "par ou ímpar", não há distinção entre as vitórias; no futebol, 1x0 é diferente de 2x0 que é diferente de 3x0, que é diferente de 3x1, que e diferente de 3x2 e assim por diante.
- No "par ou ímpar" só existem vitória e derrota; no futebol, também existe o empate.
- No "par ou ímpar", as únicas informações existentes são os jogos entre Almeida e Barbosa; no futebol, existem muitos times jogando uns contra os outros;
- No "par ou ímpar", supusemos que todos os jogos têm peso igual e que o lugar onde eles são realizados não interfere no resultado; no futebol, existe o efeito "jogar em casa" e existe o "envelhecimento" das informações (para o Time X de hoje, a informação sobre o Time X da semana passada é muito mais relevante do que a informação sobre o Time X de cinco anos atrás).

Logo, para que todos esses fatores sejam devidamente levados em consideração, é necessário um modelo matemático significativamente mais complexo tanto para obtenção dos parâmetros (divulgados nas páginas dos Rankings Chance de Gol) quanto para obtenção das probabilidades (veiculadas nas páginas dos diversos campeonatos cobertos pelo Chance de Gol). A página de explicações matemáticas sobre os Rankings Chance de Gol contém um resumo de como os parâmetros de cada time são calculados.

À parte a complexidade matemática desses cálculos, o importante é ter em mente que a sua essência é basicamente a mesma do exemplo do campeonato de "par ou ímpar": Se o Time X tem parâmetros melhores que seus adversários, então ele tenderá a ser favorito à vitória em todos os seus jogos. Sendo favorito à vitória em todos (ou quase todos) os seus jogos, as seqüências de resultados que o conduzem ao título terão probabilidades "grandes" de ocorrência em comparação com as seqüências de resultados que levam os outros times ao título. E, conseqüentemente, a soma dessas probabilidades "grandes" será uma probabilidade igualmente "grande" de esse time ser campeão, promovido para a divisão superior, classificado à próxima fase etc.

È exatamente essa a explicação para a ocasional aparição, nas rodadas iniciais de campeonatos longos, de times com probabilidades inesperadamente altas de título, promoção, classificação etc. E, naturalmente, vale explicação análoga para a existência de times com probabilidades inesperadamente grandes de eliminação ou rebaixamento.

Fico, sinceramente, na esperança de que esse conceito (os parâmetros dos times) esteja agora bem compreendido e seja um "mistério" a menos a ser "desvendado" sobre a "caixa preta" do Chance de Gol.


Leia também:
- Entenda os cálculos do Chance de Gol
- Matemágicos, não senhor! (ou: Curso Rápido de Probabilidade Aplicada ao Futebol)
- Estatísticas e medidas: quanto o Chance de Gol "erra" e "acerta"
- Cursos e palestras sobre Probabilidade, Estatística e o Chance de Gol






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